Лучи, которые являются частями прямой у = х

Теорема 1. Лучи, которые являются частями прямой у = х и выходят из начала координат, являются биссектрисами первого и третьего координатных углов.

Доказательство. Пусть луч ОМ выходит из начала О системы координат, а его точка М лежит на прямой у = х в первом координатном угле (рис.). Из точки М опустим перпендикуляры MN и MP на оси абсцисс и ординат соответственно. Тогда абсцисса а точки N равна ординате точки Р. Значит, четырехугольник ON MP — квадрат, а его диагональ ОМ является биссектрисой угла PON. Это означает, что луч ОМ является биссектрисой первого координатного угла. Так же доказывается, что если точка L лежит на прямой у = х в третьем координатном угле, то луч OL является биссектрисой третьего координатного угла.

Наконец, рассмотрим вопрос о взаимном расположении графиков линейных функций. Прямые, являющиеся графиками двух линейных функций, или пересекаются, или параллельны.