Если параллелограмм является прямоугольником

Теорема: Если параллелограмм является прямоугольником, то:

а)  его диагонали равны;

б)  серединный перпендикуляр к стороне является его осью симметрии.

Доказательство:

а) Пусть отрезки PR иQS — диагонали прямоугольника PQRS.

Треугольники PQR и QPS равны, так как оба они прямоугольные, имеют общий катет PQ, а катеты QR иPS равны как противоположные стороны параллелограмма PQRS. Значит, диагонали PR и QS равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников PQR и QPS.

б) Пусть прямая k проведена через середину А стороны MS прямоугольника MNRS перпендикулярно к этой стороне и пересекает противолежащую сторону NR в точке В.

Тогда прямая k перпендикулярна стороне NR, так как прямые MS и NR параллельны. Теперь докажем, что точка В — середина отрезка NR. Треугольники MNA и SRA равны как прямоугольные треугольники с равными катетами. Поэтому равны их гипотенузы AN и AR, а также углы NAM и RAS. Эти углы дополняют углы BAN и BAR до прямых углов ВАМ и ВAS. Потому углы BAN и BAR равны. Учитывая равенство отрезков AN и AR, углов BAN и BAR, а также то, что отрезок АВ является общей стороной треугольников BAN и BAR, утверждаем, что эти треугольники равны. Значит, равны и их стороны BN и BR. Таким образом, прямая k перпендикулярна стороне NR и пересекает эту сторону в точке В, равноудаленной от концов отрезка NR. Поэтому прямая k является серединным перпендикуляром к стороне NR.

Если теперь прямоугольник MNRS перегнуть по прямой k, то точка R наложится на точку N, а точка S — на точку М. Значит, прямая k — ось симметрии прямоугольника MNRS.