Параллелограмм является прямоугольником, если

Теорема: Параллелограмм является прямоугольником, если:

а) его диагонали равны;

б) серединный перпендикуляр к какой-либо стороне параллелограмма является его осью симметрии.

Доказательство:

а) Пусть в параллелограмме EFGH диагонали EG и FH равны.

Тогда треугольники EFG и FEH равны по трем сторонам. Значит, равны соответствующие углы EFG и FEH этих треугольников. Поскольку эти углы являются прилежащими к одной стороне EF параллелограмма, то вместе они составляют 180°. Значит, каждый из них равен 90°. Теперь, применив определение прямоугольника, можем утверждать, что параллелограмм EFGH является прямоугольником.

б) Пусть серединный перпендикуляр l к стороне ТХ параллелограмма TXYZ, который пересекает стороны ТХ и ZY в точках С и D, является осью симметрии этого параллелограмма.

Поскольку при перегибании по прямой CD точки X и Т, а также Y и Z совместятся, то углы CXY и CTZ наложатся один на другой, т.е. они равны. Но эти углы прилежат к одной стороне параллелограмма, поэтому они вместе составляют 180°, и каждый из них равен 90°. По определению прямоугольника получаем, что параллелограмм TXYZ есть прямоугольник.