Если параллелограмм является ромбом, то

Теорема. Если параллелограмм является ромбом, то его:

1. диагонали перпендикулярны;
2. диагонали являются биссектрисами соответствующих углов;
3. диагонали являются осями симметрии.

Доказательство:

 

a. Пусть КМ и LN — диагонали ромба KLMN, которые пересекаются в точке Q (рисунок). Поскольку ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, LQ — медиана треугольника KLM. Но треугольник KLM равнобедренный, так как KL — ML. Поэтому медиана LQ является и высотой треугольника KLM. Отсюда следует, что отрезки КМ и LQ, а значит, и отрезки КМ и LN перпендикулярны.

b. Пусть КМ и LN — диагонали ромба KLMN, пересекающиеся в точке Q (рисунок). Поскольку LQ — медиана равнобедренного треугольника KLM, то LQ, а значит и LN, является биссектрисой угла KLM.

c. Пусть КМ и LN — диагонали ромба KLMN, пересекающиеся в точке Q (рисунок). Тогда биссектриса LN является осью симметрии угла KLM, а биссектриса NL — осью симметрии угла KNM. Значит, прямая LN является осью симметрии ромба KLMN.