Параллелограмм является ромбом

Теорема: Параллелограмм является ромбом, если его:

1. диагонали перпендикулярны;
2. диагональ является биссектрисой соответствующих углов;
3. диагональ является осью симметрии.

Доказательство:

1. Пусть АК и BL — диагонали параллелограмма ABKL, пересекающиеся в точке О под прямым углом.

Тогда в треугольнике BKL отрезок КО является медианой и высотой. По соответствующему признаку этот треугольник равнобедренный, т. е. KB = KL. Но KB и KL — смежные стороны параллелограмма ABKL. Значит, этот параллелограмм является ромбом.

2. Пусть СМ и DN — диагонали параллелограмма CDMN, которые пересекаются в точке Q, и DN — биссектриса соответствующих углов.

Тогда в треугольнике CDM отрезок DQ — медиана и биссектриса. По соответствующему признаку этот треугольник равнобедренный, т. е. DC — DM. Но DC и DM — смежные стороны параллелограмма CDMN. Значит, параллелограмм CDMN является ромбом.

3. Пусть ЕР и FQ — диагонали параллелограмма EFPQ, которые пересекаются в точке Т, и РЕ является его осью симметрии.

Тогда РТ — биссектриса угла FPQ, и по доказанному в б) параллелограмм EFPQ — ромб.