Как решить квадратичные неравенства

Квадратичные неравенства это  неравенства вида

  • ax2 + bx + с > 0,
  • ax2 + bx + с ≥ 0,
  • ax2 + bx + с < 0,
  • ax2 + bx + с ≤ 0,

где  x — переменная, a, b, c — действительные числа (а ≠ 0).

При решении квадратичного неравенства ax2 + bx + с > 0 используют свойства квадратичной функции у = ax2 + bx + с и особенности расположения ее графика в зависимости от знака коэффициента а и значения дискриминанта D = b2 — 4ас.

  • Если а > 0 графиком функции у = ax2 + bx + с является парабола, с ветвями, направленными вверх.

При D > О у уравнения ax2 + bx + с = 0 два различные действительные корня х1 и х2 (для определенности будем считать, что х1 <  х2). График функции у = ax2 + bx + с  пересекает ось абсцисс в точках х1 и х2. Следовательно, ax2 + bx + c > 0 при х < х1 и х > х2. Множеством решений рассматриваемого неравенства в данном случае являетсяКвадратичное неравенство.

Дискриминант больше нуля

При D = 0 у уравнения ax2 + bx + с =  0  два равных действительных корня х1х2. График функции у = ax2 + bx + с располагается выше оси Ох и касается ее в точке х = х1= х2. В этом случае ax2 + bx + с > 0 при всех х, кроме х = х1= х2.

Дискриминант равен нулю

При D < 0 у уравнения ax2 + bx + с = 0 нет действительных корней. График функции у = ax2 + bx + с не пересекает оси Ох и располагается целиком выше нее. В этом случае ax2 + bx + с > 0 при любых х. Множество решений рассматриваемого неравенства все действительные числа.

Дискриминант меньше нуля

  •   Если а < 0 графиком функции у = ax2 + bx + с является парабола, с ветвями, направленными вниз.

При D > 0 у уравнения ax2 + bx + с =  0 два различные действительные корня х1 и х2 (х1 < х2). График функции у = ax2 + bx + с пересекает ось абсцисс в точках х1 и х2. Следовательно, ax2 + bx + с > 0 при х1 < х < х2. Множеству решений рассматриваемого неравенства в данном случае принадлежатКвадратичное неравенство.

Квадратичные неравенства

Если D = 0,  уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет два равных действительных корня х1 = х2 . График функции у = ax2 + bx + с располагается ниже оси Ох и касается ее в точке х = х1 = х2). В этом случае неравенство ax2 + bx + с > 0 решений не имеет.

Дискриминант равен нулю

При D < 0 у уравнения ax2 + bx + с = 0 нет действительных корней. График функции у = ax2 + bx + с не пересекает оси Oх и располагается целиком ниже нее. В этом случае у неравенства ax2 + bx + с > 0 нет решений.

Дискриминант меньше нуля

Чтобы решить неравенство ax2 + bx + с < 0 можно умножить его на -1 и решить полученное неравенство способом, который описан выше.

Чтобы решить нестрогие неравенства ax2 + bx + с ≥ 0 и ax2 + bx + с ≤  0, можно решить соответствующие им строгие неравенства и уравнение ax2 + bx + с = 0 и объединить полученные решения.

Задачи про параболу можно найти у нас на сайте. Все задачи приведены с подробными решениями.

 

Оставь комментарий первым