Что такое четные, периодичные, монотонные функции
Числовое множество X считается симметричным относительно нуля, если для любого xЄX значение -х также принадлежит множеству X.
Функция y = f(х), которая задана на множестве X, считается четной, если выполняются следующие условия: а) множество X симметрично относительно нуля; б) для любого xЄX, f(х) = f(-х).
У четной функции график симметричен относительно оси Оу.
Функция y = f(х), которая задана на множестве X, считается нечетной, если выполняются следующие условия: а) множество X симметрично относительно нуля; б) для любого xЄX, f(х) = -f(-х ).
У нечетной функции график симметричен относительно начала координат.
Функция у = f(x), xЄX, называется периодической на X, если найдется число Т (Т ≠ 0) (период функции), что выполняются следующие условия:
- х - Т и х + Т из множества X для любого хЄX;
- для любого хЄX, f(х + T) = f(х - T) = f(х).
В случае, когда Т — это период функции, то любое число вида mТ, где mЄZ, m ≠ 0, это также период этой функции. Наименьший из положительных периодов данной функции (если он существует) называется ее главным периодом.
В случае, когда Т — основной период функции, то для построения ее графика можно построить часть графика на любом из промежутков области определения длины Т, а затем сделать параллельный перенос этого участка графика вдоль оси Ох на ±Т, ±2T, ....
Функция y = f(х), ограниченна снизу на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если есть число А, что для любого хЄX, А ≤ f(х). График функции, который ограничен снизу на множестве X, полностью располагается выше прямой у = А (это горизонтальная прямая).
Функция у = f(x), ограниченна сверху на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если есть число В, что для любого хЄX, f(х) ≤ В. График функции, который ограничен сверху на множестве X, полностью располагается ниже прямой у = В (это горизонтальная линия).
Функция, считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т. е. существуют такие числа А и В, что для любого хЄX выполняются неравенства A ≤ f(x) ≤ B. График функции, которая ограничена на множестве X, полностью располагается в промежутке между прямыми у = А и у = В (это горизонтальные прямые).
Функция у = f (х), считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если найдется число С > 0, что для любого xЄX, │f(х)│≤ С.
Функция у = f(х), хЄX, называется возрастающей (неубывающей) на подмножестве МСX, когда для каждых х1 и х2 из М таких, что х1 < х2, справедливо f(х1) < f(х2) (f(х1) ≤ f(х2)). Или функция у называется возрастающей на множестве К, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
Функция у = f(х), хЄX, называется убывающей (невозрастающей) на подмножестве МСX, когда для каждых х1 и х2 из М таких, что х1 < х2, справедливо f(х1) > f(х2) (f(х1) ≥ f(х2)). Или функция у называется убывающей на множестве К, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.
Функция у = f(x), хЄX, называется монотонной на подмножестве МСX, если она является убывающей (невозрастающей) или возрастающей (неубывающей) на М.
Если функция у = f(х), хЄX, является убывающей или возрастающей на подмножестве МСX, то такая функция называется строго монотонной на множестве М.
Число М называют наибольшим значением функции у на множестве К, если это число является значением функции при определенном значении х0 аргумента из множества К, а при других значениях аргумента из множества К значения функции у не больше числа М.
Число m называют наименьшим значением функции у на множестве К, если это число является значением функции при определенном значении х0 аргумента из множества К, а при других значениях аргумента х из множества К значения функции у не меньше числа m.
Основные свойства функции, с которых лучше начинать ее изучение и исследование это область ее определения и значения. Следует запомнить, как изображаются графики элементарных функций. Только потом можно переходить к построению более сложных графиков. Тема "Функции" имеет широкие приложения в экономике и других областях знания. Функции изучают на протяжении всего курса математики и продолжают изучать в высших учебных заведениях. Там функции исследуются при помощи первой и второй производных.