Как решить систему из двух уравнений

Рассмотрим систему, состоящую из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Будем считать, что а₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0, а₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0.

Пара (х; y), которая при подстановке в систему обращает ее уравнения в верные числовые равенства, есть решение рассматриваемой системы.

Система уравнений считается решенной, если найдены все пары чисел, которые подходят в каждое уравнение системы или если доказано, что решений у системы нет.

Системы считают равносильными, если у них одинаковые решения.

Для решения системы уравнений, ее заменяют другой системой, которая более простая или более «удобная», но она обязательно должна быть равносильной первоначальной (равносильные системы имеют одинаковые решения).

Какими методами можно решить систему? Способов очень много. Есть школьные способы решения, есть вузовские способы. В школе обычно используют метод подстановки, метод вычитания или сложения уравнений, графический метод.

Метод подстановки (из одного уравнения выражаем любую переменную, а потом подставляем полученное выражение в другое уравнение. Это уравнение решают, как линейное. потом подставляют полученное значение переменной в любое уравнение и находят другую переменную).

Метод вычитания или сложения уравнений. Этот метод состоит том, чтобы преобразовать одно из уравнений системы в уравнение с одной переменной.

Графический метод. Он заключается в том, что нужно отыскать координаты точек, в которых пересекаются графики обоих уравнений.

Графиком каждого из линейных уравнений, составляющих систему, является прямая. Как могут располагаться прямые?

Они могут быть параллельными, совпадать или пересекаться. Соответственно этому если:

а) они могут пересекаться (у них одна общая точка). Получается, что система имеет одно единственное решение;

б) они могут быть параллельными (они не имеют ни одной общей точки). Получается, что система не имеет ни одного решения;

в) они могут совпадать (они имеют бесконечное число общих точек). Получается, что система имеет бесчисленное число решений.

Анализируя соотношение коэффициентов рассматриваемой системы, можно сделать следующий вывод о взаимном расположении указанных прямых:

• в случае a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, прямые пересекаются;
• в случае a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ с₁/с₂, прямые параллельны;
• в случае a₁/a₂ = b₁/b₂ = с₁/с₂, прямые совпадают.

В итоге получаем, что система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет

• одно решение, в случае a₁/a₂ ≠ b₁/b₂;
• бесконечно много решении, в случае a₁/a₂ = b₁/b₂ = с₁/с₂;
• не имеет решений, в случае a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ с₁/с₂.

Здесь описаны способы решения самых простых систем уравнений, но это база, на которой можно построить решение более сложных систем, примеров и задач в широком смысле этого слова. Зная эти методы можно решать довольно серьезные олимпиадные задачи по математике различных уровней.