Что такое линейная функция, какие у нее свойства и график

Линейная зависимость выражается формулой у = ах + b, х — аргумент, а и b — определенные числа.

Если условия задачи никак не ограничивают аргумент линейной функции, получается, что областью определения данной функции являются все действительные числа. Чтобы найти значение линейной функции, нужно выполнить умножение числа а на значение переменной х, и затем полученное произведение сложить с числом b, а действия умножения и сложения всегда выполнимы. Условия задачи могут накладывать на аргумент дополнительные ограничения.

Графиком линейной функции является прямая линия. Прямая определяется 2-мя точками. Значит, для построения графика линейной функции стоит координаты 2-х таких точек графика, нанести полученные точки на координатную плоскость и через них провести прямую.

Пусть в формуле у = ах + b число а равно нулю. Тогда формульное представление линейной функции получает вид

у = 0 ∙ х + b, т. е. у = b.

Функция, задаваемая формулой у = b, при любом значении аргумента принимает одно и то же значение b.

Пусть в формуле у = ах + b число b это нуль. Тогда формульное представление линейной функции становится таким:

у = ах.

Функция у = ах, где х — аргумент, а ≠ 0, это прямая пропорциональность.

Поскольку прямая пропорциональность это линейная функция, то графиком прямой пропорциональности является прямая. Данной линии принадлежит точка (0; 0), поскольку если х = 0, то у = 0.

Для быстрого построения прямой пропорциональности, можно найти любую точку графика, (не (0; 0)), и через начало координат и найденную точку провести прямую.

Графики двух разных линейных функций вида у = ах + b:

а) пересекаются, если коэффициенты а разные;

б) параллельны, если коэффициенты а одинаковые.

Через свойства линейной функции можно решать системы линейных уравнений. Причем это решение изящно, а его графическая интерпретация помогает глубже вникнуть в смысл математических понятий.