Что такое гипербола, какие у нее свойства и график

Функция, заданная формулой y = a/x, где х — аргумент, а — определенное не равное нулю число, называется обратной пропорциональностью. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, кроме числа 0. В самом деле, если значение переменной х удовлетворяет условию х ≠ 0, то выражение a/x имеет значение.

Обратим внимание на то, что поскольку число 0 не входит в область определения функции у = a/x, то графику не принадлежит точка с абсциссой, равной нулю, т. е. график не пересекает ось Оу. Поскольку ни при каком значении аргумента х значение функции у не нулевое, то график не пересекается и с осью Ох.

Если значения аргумента х положительны, то и значения функции у также положительны, при этом с увеличением положительного значения аргумента х значение функции у уменьшается и может стать меньше любого заранее выбранного малого числа. Это означает, что с ростом положительного значения аргумента х точка на графике функции все больше приближается к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает.

Приближение положительной абсциссы к нулю делает значение функции все большим и большим. Это означает, что с уменьшением значения аргумента х точка на графике функции все больше приближается к оси Оу, но никогда ее не пересекает.

Подобным образом ведет себя график и когда значения аргумента отрицательны. Когда значения аргумента х отрицательны, то и значения функции у также отрицательны, при этом с увеличением модуля отрицательного значения аргумента х модуль значения функции у уменьшается и может стать меньше любого заранее выбранного малого числа. Это означает, что с увеличением модуля отрицательного значения аргумента х точка на графике функции все больше приближается к оси Ох, но никогда ее не пересекает.

Приближение отрицательной абсциссы к нулю делает модуль значения функции все большим и большим. Это означает, что с уменьшением модуля значения аргумента х точка на графике функции все больше приближается к оси Оу, но никогда ее не пересекает.

График обратной пропорциональности называется гипербола. В отличие от графика прямой пропорциональности, гипербола состоит из двух частей, которые называют ветвями гиперболы.

Вообще, если а > 0, то ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях. Если а < 0, то ветви гиперболы находятся во второй и четвертой координатных четвертях.