Что такое пропорциональные отрезки

Теорема. Если на одной стороне угла отметить отрезки равной длины и провести несколько параллельных прямых через их концы, то эти прямые на другой стороне высекают также равные отрезки.

Теорема Фалеса

Доказательство. Пусть на одной стороне угла А отмерены отрезки PQ и RS, которые равны между собой. Через концы этих отрезков провели прямые, которые параллельны между собой и которые пересекают  вторую сторону угла А в точках Р1, Q1, R1, S1. Докажем, что отрезки Р1Q1 и R1Sравны.

Через точки Р и R проведем прямые, параллельные другой стороне угла, которые пересекают прямые QQ1 и SSl в точках М и N соответственно.

Треугольники PQM и RSN равны, так как их стороны PQ и RS равны по условию, углы PQM и RSN равны как соответственные при параллельных QQ1 и SS1, пересеченных прямой AS, углы QPM и SRN равны как соответственные при параллельных РМ и RN, пересеченных прямой AS. Поэтому соответствующие стороны РМ и RN этих треугольников одинаковые.

Четырехугольники РР1Q1M и RR1S1N  —  параллелограммы. Поэтому отрезки P1Q1 и R1S1 равны соответственно отрезкам РМ и RN.

Поскольку отрезки РМ и RN равные, то равны и отрезки P1Q1 и R1S1.

Эта теорема называется теоремой Фалеса.

Фалес Милетский (около 625—547 до н. э.) — философ, математик и астроном, который, как считают, был первым греческим геометром.

Теорема. Если от вершины угла отложить последовательно равные друг другу отрезки на одной его стороне  и на другой стороне также равные друг другу отрезки, то прямые, проходящие через соответствующие концы отложенных отрезков, параллельны.

Доказательство. Пусть на одной стороне угла С от его вершины отмечены отрезки СМ и MN равной длины, на другой стороне — отрезки CP и PQ равной длины.

Докажем, что прямые MP и NQ параллельны. Через точку N проведем прямую, которая будет параллельна прямой MP. Пусть эта прямая пересекает сторону CP в точке Q1. Тогда, по теореме Фалеса, PQl = СР. Но в соответствии с условием CP = PQ. Поэтому PQl = PQ, а это означает, что точки Q1 и Q совпадают. Значит, прямая NQl совпадает с прямой NQ, и поэтому прямая NQ параллельна прямой MP.

Теорему Фалеса можно обобщить на так называемые пропорциональные отрезки.

Пары отрезков (АВ, EF) и (MN, PQ) называют пропорциональными отрезками, если отношение отрезков одной пары равно отношению отрезков другой пары, т. е. AB/EF = MN/PQ.

пропорциональные отрезки

Теорема. Если стороны угла пересечены тремя прямыми, которые друг другу параллельны , то отношение отрезков, которые образуются на одной из сторон угла, совпадает с отношением соответствующих отрезков, образованных на второй стороне угла.

Эта теорема позволяет утверждать, что если даны угол А и прямая р, то любая пара прямых, которые параллельны прямой р, отсекают на сторонах угла два отрезка, отношение длин которых постоянно и определяется только направлением прямой р.

Теорема. Если от вершины угла отложить последовательно на одной его стороне два отрезка, а на другой стороне два пропорциональных им отрезка, то прямые, проходящие через соответствующие концы отложенных отрезков, параллельны.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Как разделить отрезок на n равных частей можно, обратившись к администратору Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.. Также совершенно бесплатно мы расскажем вам как разделить отрезок в отношении m/n или как построить четвертый отрезок, пропорциональные первым трем данным.

 

Оставь комментарий первым