Метод областей на координатной плоскости

Для изображения на координатной плоскости Оху множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем используется построение на координатной плоскости множества точек, у которых координаты удовлетворяют данным уравнениям, неравенствам, системам.

При решении неравенства f(x; у) ≥ 0, равносильного смешанной совокупности

 
применяется метод областей, являющийся обобщением метода интервалов на случай двух переменных. Для этого вначале находят все нули выражения f(x; у), то есть все такие точки, координаты которых удовлетворяют уравнению f(x; у) =0. В общем случае уравнение f(x; у)=0 задает некоторую кривую (или несколько кривых) на плоскости Оху. Полученные кривые разбивают плоскость на множества, для координат всех точек которых выражение f(x;у) имеет постоянный знак. Далее отбирают требуемые подмножества, у которых координаты точек удовлетворяют неравенству f(x;у) >0. Это можно сделать подстановкой координат произвольной точки из рассматриваемого подмножества в выражение f(x; у).

Простейшим является случай, когда f(x;у)=Ах +By+С, где А²+В²>0, то есть числа А и В одновременно не обращаются в нуль. Уравнение Ах+By+С=0 задает прямую, которая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости, для координат точек одной из которых выполняется неравенство Ах+ By+С> 0, а в другой - неравенство Ах+Ву+С< 0.
Уравнение (х-а)²+(у-b)²=R², где a, b, R - заданные числа, причем R>0, задает на координатной плоскости окружность С радиуса R с центром в точке (а; b), а неравенствам (х-а)² +(у-b)²<R² и (х-а)²+ (у-b)²>R² удовлетворяют все те и только те точки, которые расположены соответственно внутри области, ограниченной окружностью С, и снаружи.

Рассмотрим задачи построения на координатной плоскости множества точек, у которых координаты удовлетворяют уравнению f(x; у) = 0.