Правильная пирамида

Теорема: У правильной пирамиды равны ее: а) боковые ребра; б) боковые грани; в) апофемы.

Доказательство:

Пусть QA₁A₂...A_n — правильная пирамида и точка О — центр ее основания.

а)    Отрезки ОА₁ ,ОА₂, ..., ОА_n равны, так как являются радиусами описанной около основания окружности. Прямоугольные треугольники OQA₁, OQA₂, ..., OQA_n имеют пары равных катетов, поэтому они равны, а значит, равны и их гипотенузы: QA₁ = QA₂ = ... = QA_n.

б)    Поскольку боковые ребра пирамиды QA₁A₂.. An равны друг другу, то ее боковые грани — равнобедренные треугольники, основания которых равны, так как многоугольник А₁А₂...А_n — правильный. Поэтому боковые грани равны друг другу по трем сторонам.

в)    Поскольку боковые грани пирамиды QA₁A₂...A_n равны друг другу, то равны и их высоты, проведенные из вершины Q, т. е. равны апофемы пирамиды QA₁A₂…A_n.