Производная. Что это такое

Представим, что мы сели в машину и поехали. Понятно, что со временем t изменяется (увеличивается) пройденный путь s, изменяется и скорость v, т. е. путь s и скорость v являются функциями времени t.

Наш опыт говорит о том, что путь и скорость связаны между собой. Например, при равномерном движении путь, скорость и время связаны зависимостью s = vt. Общий способ описания связи между этими величинами изобрел английский физик и великий математик Исаак Ньютон (1643—1727). Открытие Ньютона дало возможность описать многие процессы, изучаемые физикой, химией, биологией, техническими науками, так как связи между величинами, характеризующими эти процессы, аналогичны связям между путем, скоростью и временем.

Понятие производной обобщает понятие скорости. При равномерном движении пройденный телом путь s прямо пропорционален времени движения t, причем скорость — это коэффициент пропорциональности, показывающий путь, пройденный за единицу времени. Для нахождения скорости можно путь s₂ - s₁, пройденный за время t₂ - t₁ разделить на это время:

Выясним, что такое скорость произвольного движения, законы которого самые разнообразные.

Пусть тело движется по закону, график которого изображен на рисунке. За время t₂- t₁ от момента t₁ до момента t₂ оно пройдет путь s₂- s₁. Тогда отношение (s₂- s₁)/(t₂- t₁) дает среднюю скорость вектора v движения тела на временном промежутке [t₁;t₂]:

Для определения скорости тела в момент t, которую называют мгновенной скоростью, поступим так. Выберем временной промежуток [t;t₁], найдем на нем среднюю скорость и будем уменьшать промежуток [t;t₁]; приближая t₁ к t. Если закон движения тела задается формулой

Если теперь уменьшать промежуток времени [t;t₁], приближая значение t₁ к t, то сумма t₁ + t приближается к t+ t, т. е. к 2t, а выражение g(t₁ +t)/2 приближается к (g/2)2t, т. е. к gt. Число gt — значение мгновенной скорости в момент t. Получили хорошо известную вам формулу

v = gt,

выражающую зависимость скорости от времени при свободном падении тела.

Действие, похожее на переход от средней скорости на промежутке [t;t₁] к мгновенной скорости в точке t, называется действием предельного перехода. Говорят, что при стремлении t₁ к t выражение g(t₁ +t)/2  стремится к gt, и записывают:

Таким образом, мгновенная скорость в момент t является пределом средней скорости при стягивании промежутка, на котором она измеряется, в точку, т. е.

К подобным выводам пришел и немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646—1716), решая задачу о проведении касательной к произвольной кривой.