Что такое касательная

Когда мы ножницами вырезаем из бумаги криволинейную фигуру, то эта линия представляет собой ломаную из очень маленьких звеньев. Именно так рассматривали кривую создатели математического анализа.

В первом учебнике по анализу, написанному 300 лет назад известным математиком Гийомом Лопиталем (1661—1704), касательная определяется так: «Если продлить одно из маленьких звеньев ломаной, из которых состоит кривая линия, то эта продленная прямая называется касательной к кривой».

Наглядное представление о касательной дает край линейки, приложенной в выбранной точке к сделанной из проволоки кривой.

Посмотрим в микроскоп на параболу у = х² в окрестности точки А (1; 1).

На первом рисунке, где эта парабола изображена без увеличения, отчетливо видна искривленность линии, на втором рисунке, на котором окрестность точки А увеличена в 10 раз, искривление едва заметно, а на третьем рисунке, где окрестность точки А увеличена в 100 раз, участок параболы визуально не отличается от отрезка прямой, которая и является касательной к параболе в точке А.

Уточним это представление о касательной к кривой. Пусть дана некоторая кривая l и точка А на ней. Выберем на кривой вторую точку А₁ и проведем прямую АА₁, которую называют секущей. Будем приближать точку А₁ к точке А. При этом секущая будет поворачиваться вокруг точки А и стремиться к некоторому предельному положению, которое и является касательной к кривой в точке А.

Переведем описанный процесс на точный язык формул. Пусть кривая I — график функции у = f(x). Пусть абсциссы точек А и А₁ соответственно равны х и х₁, тогда их ординаты равны f(x) и f(x₁). Касательной к кривой l в точке А является определенная прямая, проходящая через точку А. Положение касательной зависит от углового коэффициента а. Найдем сначала угловой коэффициент а₁ секущей АА₁. Он равен тангенсу угла α, образованного прямой АА₁ с положительным направлением оси абсцисс. Как показывает последний рисунок,

Чтобы найти угловой коэффициент а, будем приближать x₁ к x. Тогда точка А₁ будет приближаться к точке А, а секущая АА₁ — к касательной в точке А. Иными словами, угловой коэффициент а есть предел выражения (f(x₁)-f(x))/(x₁-x) при стремлении х₁ к х:

Мы получили ту же задачу, что и при нахождении скорости: выполнить предельный переход в выражении (f(x₁)-f(x))/(x₁-x) при стремлении х₁ к х. Этот предельный переход является новым математическим действием, которое выполняется над функцией и называется дифференцированием функции, или нахождением производной функции.

Математический анализ, который был создан Ньютоном и Лейбницем во второй половине XVII в., около двух столетий развивался на основе интуитивного понятия производной как скорости изменения функции. Строгое математическое определение производной стало возможным только в конце XIX в. после уточнения основных понятий математического анализа — действительного числа, функции, предела.