Что такое производная функиции
Производной функции у = f(x) в точке х называется предел отношения (f(x1)-f(x))/(x1-x) при стремлении х1 к х.
Разность x1-х значений аргумента называют приращением аргумента и обозначают Δх (читается дельта икс), а разность f(x 1) - f(x) соответствующих значений функции у=f(x) называют приращением функции и обозначают Δу. Тогда средняя скорость изменения функции есть выражение Δу/Δх. Стягивание промежутка [x1; х] в точку х означает стремление Δх к нулю. Производную функции у = f(x) обозначают у', или f'.
Введенные обозначения позволяют так переформулировать определение производной.
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Учитывая определение производной, получаем, что
т. е. что мгновенная скорость v в момент t тела, которое движется по закону s=s(t), равна значению производной s’(t) в момент t, а угловой коэффициент а касательной у = ах+b к графику функции у = f(x) в точке (х; f(x)) равен значению производной f'(x) в точке с абсциссой х. Понятно, что значение производной зависит от выбора значения х и поэтому производная данной функции — также функция с аргументом х.
Нахождение производной требует выполнения предельного перехода. Его сущность заключается в определении того, как себя ведет функция у = f(x) при приближении аргумента х к определенному значению а. Рассмотрим, например, функцию у = 3 - х2 и будем приближать аргумент х к числу 2, оформив вычисления таблицей.
Можно заметить, что при приближении значения аргумента х к числу 2 значение функции приближается к числу -1, а это есть значение функции для значения аргумента, равного 2.
Так ведут себя все функции, которые в точке х = а не имеют разрыва: предел функции при стремлении аргумента к числу а из области определения равен значению функции в точке а, т. е.
Этот факт отражает важнейшее свойство элементарных функций всех точках из области определения, которое будем называть принципом непрерывности. Его на языке приращений можно записать так:
