Числа удовлетворяют условию. Доказать неравенство
Числа a и b удовлетворяют условию a2010 + b2010 = a2008 + b2008. Доказать, что a2 + b2 ≤ 2.
Решение:
(№1049 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом оценки.
Перегруппируем слагаемые следующим образом:
a2008(a2 - 1)= b2008(1 -b2), тогда a2008/b2008 = (1 -b2)/(a2 - 1)≥0.
Возможны следующие случаи:
а) , a2/ b2≥1, (1 - b2)/( a2 - 1) ≥1;
б) , (-1+b2)/(-a2 + 1)≤1.
В итоге получаем a2+ b2≤ 2, что и требовалось доказать.
Еще задачи с решениями по математике читайте на этом сайте.