Равенства с модулем
Докажите, что неотрицательные числаa, b и c удовлетворяют неравенству
a2 + b2 + c2 = a│b – c│ + b│c – a│ + c│a – b│.
Решение:
(№1328 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом рассмотрения частных случаев.
Можно ввести следующую конкретизацию a b c, получаем:
a│b – c│ + b│c – a│ + c│a – b│= 2ab – 2 bc.
a2 + b2 + c2 – (a│b – c│ + b│c – a│ + c│a – b│) =a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc= (a – b)2 + c2 + 2bc 0, т.к. a, b и c – неотрицательные числа.
Получили, что неотрицательные числаa, b и c удовлетворяют неравенству из условия.
На нашем сайте можно найти и другие задачи по теме алгебраические тождества.