Докажите неравенство

Докажите, что при положительных значениях переменных a, b, c, d выполняется неравенство a⁴/(bc) + b⁴/(cd) + c⁴/(da) + d⁴/(ab) = a² + b² + c² + d².

Решение:

(№1572 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Поскольку a⁴ + b²c² ≥ 2a²bc, то a⁴/(bc) ≥ 2a² – bc.

Аналогично b⁴/(cd) ≥ 2b² – cd  и тогда d⁴/(ab) ≥ 2d² – ab.

Получаем:

a⁴/(bc) + b⁴/(cd) + c⁴/(da) + d⁴/(ab)  2(a² + b² + c² + d²) – (bc – cd – da – ab),

Но 2bc – 2cd – 2da – 2ab ≤ (b² + c²) + (c² + d²) + (d² + a²) + (a² + b²) =

= 2(a² + b² + c² + d²).

Что и требовалось доказать.

И другие задачи с решениями по теме  алгебраические тождества можно посмотреть на нашем сайте.