Рациональные и иррациональные числа

Числа a, b и a^1/3+b^1/3 — рациональные, а числоa^1/3 — иррациональное. Докажите, что a + b = 0.

Решение:

(№485 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод перехода к новым переменным.

Пусть p = a^1/3 + b^1/3, q =a^1/3∙b^1/3. Требуемое равенство равносильно тому, что р = 0. Имеем p³ = a + b + 3pq.

Допустим, что р ≠ 0, тогда число q – рациональное. Число a^1/3 является корнем уравнения t² – pt + q = 0.

Тогда t² = pt – q и a = t³ = pt² – qt = (p²– q)∙t – pq.

Поскольку, р Є Zпо условию, q– число рациональное, то t = [a + pq]/[p²–q] Є Q. Получили противоречие с тем, что a^1/3 – иррациональное число.