Несколько чисел выписано по кругу

 

Несколько чисел выписано по кругу

Несколько чисел выписано по кругу. Если для некоторых четырех чисел a, b, c, d, которые записаны один за одним, выполняется равенство (ad)∙(bc) < 0, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что эту операцию невозможно выполнять бесконечно долго.

Решение:

(№1095 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя инвариант или полуинвариант.

В итоге каждой операции сумма попарных произведений соседних чисел увеличивается (ab bc bd изменяется на ac cb bd, а ab cd ac bd, если (– d)∙(– c) < 0). Но сумма может принимать только конечное количество разных значений, поэтому эту операцию невозможно выполнять бесконечно долго.

Что и требовалось доказать.

 

Оставь комментарий первым