Найти все такие функции

Функция y = f(x) определена на множестве действительных чисел, принимет действительные значения и удовлетворяет условию

x(f(x) + f(–x) + 4) + 2f(x) + 2 = 0.

Найти все такие функции.

Решение:

(№592 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод рассмотрения частных случаев.

Возьмем в качестве х – -х:

–x(f(x) + f(–x) + 4) + 2f(-x) + 2 = 0.

Полученное выражение сложим с выражением из условия, получим:

f(–x) = –2 – f(x).

Подставим последнее выражение в условие,получим:

f(x) = –1 – х.

Выполним проверку, подставив f(x) = –1 – х(f(–x) = –1 + х) в выражение из условия:

х(–1 – х– 1 + х+ 4) + 2(–1 – х) + 2 = 0.

Получии верное равенство, тоесть действительно f(x) = – 1 – х.

Ответ: f(x) = – 1 – х.