В учебнике 296 страниц. Сколько цифр нужно записать, чтобы их пронумероватъ? Сколько раз будет использована каждая из цифр?
В учебнике 296 страниц. Сколько цифр нужно записать, чтобы их пронумероватъ? Сколько раз будет использована каждая из цифр?
Решение:
В задаче нужно знать, как подсчитать количество цифр в однозначных числах, в дву- и трехзначных, что цифра 1, например, может встретиться и в разряде единиц, и в разряде десятков, и в разряде сотен.
Понадобится для нумерации страниц: однозначными числами от 1 до 9 — 9 цифр; двузначными числами от 10 до 99 — 2 • 90, т. е. 180 цифр; трехзначными числами от 100 до 296 (296 - 99 = 197) - 3 • 197, т. е. 591 цифра. Поэтому всего будет использовано 9 + 180 + 591, т. е. 780 цифр.
Цифра 1 в разряде единиц встречается в первом и каждом десятом числе. Поэтому в разряде единиц цифра 1 будет написана всего 30 раз.
В разряде десятков цифра 1 впервые встречается при написании числа 10, потом еще 9 раз при написании следующих чисел 11, 12, 19 — всего 10 раз. В первой сотне чисел цифра 1 в разряде десятков больше не встречается. Во второй сотне в разряде десятков цифра 1 встретится еще 10 раз — при написании чисел 110, 111, ..., 119. Так же 10 раз цифра 1 встретится в третьей сотне в разряде десятков — при написании чисел 210, 211, ..., 219. Значит, всего в разряде десятков цифра 1 будет записана 30 раз.
В разряде сотен цифра 1 впервые будет записана в числе 100, потом она встретится еще 99 раз в разряде сотен при написании чисел 101, 102, 199. Всего в разряде сотен цифра 1 будет записана 100 раз.
Таким образом, цифра 1 будет написана 30 + 30 + 100 = 160 раз.
По аналогии для цифры 2 можно получить такой же результат: 30 + 30 + 100 = 160 раз. Хотя этот результат и ошибочный, не следует сразу исправлять эту ошибку. Дети могут допустить ошибки и при подсчете количества использованных цифр 9 и цифр 0. После того как ученики найдут для каждой цифры количество ее использований, учитель может поставить вопрос о том, можно ли каким-либо образом проверить свои Результаты. В результате обсуждения появится такой способ: если найти сумму полученных количеств для каждой цифры, то должно получиться общее количество использованных цифр, т. е. число 780. Скорее всего Ученики при вычислениях допустят ошибки, в результате чего их сумма будет отличаться от числа 780. Это несовпадение нужно использовать как свидетельство того, что при подсчетах допущена ошибка, и вернуться еще раз к этим подсчетам.
Для учителя приводим ответ: при нумерации страниц учебника цифра «1» повторится 160 раз, «2» — 157, «3» — 60, «4» — 60, «5» — 60, «6» — 60, «7» — 59, «8» — 59, «9» — 56, «0» — 49 раз. Контроль: 160 + + 157 + 60 + 60 + 60 + 60 + 59 + 59 + 56 + 49 = 780.