Докажите, что окружности проходят через одну точку

Докажите, что окружности, описанные около четырех треугольников, которые образовались при пересечении четырех прямых, проходят через одну точку.

Решение:

(№358 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Сначала рассмотрим точку пересечения двух окружностей (точка Р), описанных около треугольников АDЕ и АВF. ﮮАDР = ﮮВDР = ﮮАЕР (вписанные, которые опираются на одну дугу), ﮮВDР = ﮮBFР (вписанные, которые опираются на одну дугу). Значит, точки С, Р, Е, F находятся на одной окружности.

Подобным образом доказывается то, что точки А, В, С, Р находятся на одной окружности.

Что и требовалось доказать.