Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон
Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон AB, BC и CA в точках F, G и H соответственно. Через точку G и конец K диаметра HK проведена прямая, которая пересекает прямую HF в точке L. Докажите, что прямые BL и AC параллельны.
Решение:
(№826 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.
Пусть М – величина дуги FKG, тогда ﮮFHG = М/2; ﮮFBG = π-М. HK – диаметр, и ﮮKGH – прямой, то ﮮGLH = (π - М)/2. Точки L, F, G лежат на окружности с центром в точке В, поскольку FВ = GВ и ﮮGLH = (ﮮFBG)/2 и LB = BF = BG.
Треугольники LBF и AFH равнобедренные (LB = BF, FA = AH) и имеют равные углы при основании. Поэтому углы при вершинах также равные.
ﮮВАH = ﮮLВА. Значит АВ || LВ.
Как решать другие задачи из олимпиад по геометрии смотри тут.