Дополнительные построения

Через точки F и G, взятые на стороне AB треугольника ABC, параллельно сторонам AC и BC проведены прямые, которые пересекают сторону AC в точках F₁ и G₁, а сторону BC в точках F₂ и G₂. Докажите, что площадь треугольника CFG в 2 раза меньше, чем сумма площадей трапеций GFF₁G₁, и GFF₂G₂.

Решение:

(№590 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя инвариант или полуинвариант.

Проведем через точку С прямую, параллельную АВ, и обозначим через F₃ и G₃ точки ее пересечения с FF₁ и GG₁. Поскольку BG = GG₃, GG₂ = GG₁ и ﮮBG₂G = ﮮG₃G₁G, то ΔBG₂G = ΔG₃G₁G, ΔBFF₂ = ΔCF₁F₃, получаем, что.

, получили, что.

Сложные, нестандартные и олимпиадные задачи вам поможет решить репетитор по математике.