Диагональ выпуклого четырехугольника

Диагональ AC выпуклого четырехугольника ABCD пелит пополам диагональ BD. Сравните углы ACB и ACD, если AB > AD.

Решение:

(№1504 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Построим параллелограмм ВKDА. AB> AD и ВKDА – параллелограмм, где DK > ВK и ﮮВОА > ﮮАОD, и ﮮСОD > ﮮВОС. Получаем, что СD > ВС.

ΔВСО и ΔDСО – равновеликие (имеют равные площади), потому что имеют одинаковые высоты, которые опираются на одинаковые стороны (ВО = ОD). Воспользовавшись формулой прощади треугольника S = (absinγ)/2 для равновеликих ΔВСО и ΔDСО и учитывая, что СD > ВС, получаем sinα> sinβ.

Возможны следующие случаи:

1) α и β – острые, тогда α > β. Поскольку функция y = sinγ  возрастает для острых углов.

2) один из углов α или β тупой. Поскольку ﮮВОА > ﮮАОD, а вместе они составляют развернутый угол, то, во всяком случае, ﮮВОА – тупой. ﮮВОА = ﮮСОD. Получили, что β – острый, потому что в треугольнике у (ΔСОD) не может быть двух тупых углов. Получили, что α – тупой, а любой тупой угол больше острого, это означает, что α > β.

3) α и β одновременно тупыми быть не могут, поскольку по условию четырехугольник выпуклый.

Ответ: ﮮACB> ﮮACD.

Решить самые сложные задачи и разобраться с теоретическим материалом по математике вам поможет репетитор. Занимаясь с квалифицированным педагогом Вы или Ваш ребенок усовершенствует свои знания по математике и разовьет логическое мышление.