Отрезки могут быть сторонами треугольников

 

Отрезки могут быть сторонами треугольников

Есть пять таких отрезков, что любые три из них могут быть сторонами некоторых треугольников. Докажите, что среди них есть остроугольный треугольник.

Решение:

(№1050 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.

Пусть a, b, c, d, e – данные отрезки, причем abcde. Допустим, что все треугольники, составленые из этих отрезков не остроугольные, тогда получаем:

c2 a2 + b2; d 2 b2 + c2; e2 c2 + d 2.

Сложим последнее неравенства:

c2 + d 2 + e2 a2 + 2b2 + 2c2 + 2d 2 или

e2 a2 + b2 + c2 + d 2a2 + b2 + 2bc a2 + b2 + 2ab ≥ (a + b) 2.

Получили, что e a + b, это означает, что из отрезков a, b, e нельзя сложить треугольник, а это противоречит допущению.

Вы можете также ознакомиться с решением школьных задач повышенной сложности, эти задачи будут полезны как школьникам, которые интересуются математикой, так и учителям, которые руководят школьным математическим кружком. 

 

Оставь комментарий первым