Отрезки могут быть сторонами треугольников
Есть пять таких отрезков, что любые три из них могут быть сторонами некоторых треугольников. Докажите, что среди них есть остроугольный треугольник.
Решение:
(№1050 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.
Пусть a, b, c, d, e – данные отрезки, причем a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e. Допустим, что все треугольники, составленые из этих отрезков не остроугольные, тогда получаем:
c2 ≥ a2 + b2; d 2 ≥ b2 + c2; e2 ≥ c2 + d 2.
Сложим последнее неравенства:
c2 + d 2 + e2 ≥ a2 + 2b2 + 2c2 + 2d 2 или
e2 ≥ a2 + b2 + c2 + d 2 ≥ a2 + b2 + 2bc ≥ a2 + b2 + 2ab ≥ (a + b) 2.
Получили, что e ≥ a + b, это означает, что из отрезков a, b, e нельзя сложить треугольник, а это противоречит допущению.
Вы можете также ознакомиться с решением школьных задач повышенной сложности, эти задачи будут полезны как школьникам, которые интересуются математикой, так и учителям, которые руководят школьным математическим кружком.