Найти натуральные решения уравнения

Найти все натуральные решения уравнения 15x + 21y² + 35z³ = 2310.

Решение:

(№320  Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки. При решении используются признаки делимости. 

Рассмотрим коэффициенты данного уравнения:

2310 делится на 5; 15x  делится на 5; 35z³  делится на 5, значит 21y³  делится на 5 и  y  делится на 5.

В качестве y может выступать 5 или 10 (иные значения не подходят в уравнения).

1) Пусть y = 5, тогда 15x + 35z³ = 1785 или 3x + 7z³ = 357. Выразим отсюда x: x = (357 - 7z³)/3 = 119 - (7z³)/3. Мы ищем натуральные решения уравнения, то 7z³  делится на  3. В качестве z может выступать только 3: x = 119 - (7*3³)/3 = 56.

Таким образом мы получили решение (x; у; z) = (56; 5; 3), при подстановке его в уравнение, последнее превращается в равенство.

2) Пусть y = 10, тогда 15x + 35z³ = 210 или 3x + 7z³ = 42. Выразим отсюда x: x= (42-7z³)/3=14-(7z³)/3. Мы ищем натуралиные решения уравнения, то 7z³   делится на 3, но нет таких натуральных решений z, чтобы при этом x из N.

Набор решений (x; у; z) = (56; 5; 3) – единственный.

Ответ: (x; у; z) = (56; 5; 3).