Геометрическое место точек

Знание геометрических мест точек плоскости, удовлетворяющих определенным условиям (в дальнейшем просто геометрических мест точек, или сокращенно г.м.т.), необходимо для решения многих геометрических задач на построение. Некоторые геометрическое место точек изучаются в школьном курсе геометрии. Вот наиболее простые и вместе с тем наиболее употребительные из них.

1. Геометрическое место точек, находящихся от данной точки О на данном расстоянии R, есть окружность, описанная из данной точки как из центра данным расстоянием как радиусом. Такую окружность будем обозначать символом w (R,0).

2. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, проведенных параллельно данной прямой на данном от нее расстоянии.

3. Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.

4. Геометрическое место точек., равноотстоящих от двух данных прямых, состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, делящих пополам углы между данными прямыми.

Способы построения этих геометрическое место точек с помощью циркуля и линейки подробно описаны во всех школьных учебниках геометрии. В настоящей заметке мы опишем еще одно важное г.м.т., без знания которого невозможно решить многие геометрические задачи на построение. Для этого нам понадобятся следующие факты:

Теорема. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой и измеряются угловой мерой ее половины.

Лемма. Сторона треугольника видна из любой точки, лежащей внутри треугольника, под углом, большим, чем угол треугольника, противолежащий этой стороне.

геометрическое место точек

Доказательство. Пусть точка Т лежит внутри треугольника ABC (рис. 1). Продолжим отрезок СТ до пересечения со стороной АВ в точке К. Тогда угол 3 — внешний угол треугольника ТКВ и по известной теореме он равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежных с ним: угол 3 = угол 2 + угол 2'. Следовательно, угол 3 > угол 2. Аналогично угол 2 — внешний угол треугольника АСК, поэтому угол 2 = угол 1 + угол 1’ и, следовательно, угол 2 > угол 1. Таким образом, угол 3 > угол 2 > угол 1, что и требовалось доказать.

 

Оставь комментарий первым