Построения с помощью циркуля и линейки одной из дуг найденного множества точек

Построения с помощью циркуля и линейки одной из дуг найденного множества точек достаточно найти хотя бы одну точку А, принадлежащую этой дуге. Сделать это можно, например, с помощью одного из следующих алгоритмов

Алгоритм I

1 Через точку С проведем произвольный луч (рисунок) и на нем выберем произвольную точку А1.

2. Построим угол с вершиной в точке А1, равный α, один из лучей которого пересечет отрезок СВ или его продолжение в точке В1.

3. Через точку В проведем прямую, параллельную прямой А1В1 и пересекающую СА1 или его продолжение в точке А. Тогда угол CA1B1= углу CAB= α (почему?).

Описав около треугольника ABC окружность, получим одну из искомых дуг — дугу ВАС.

Алгоритм II

1. Поставив ножку циркуля на одну сторону данного угла α в точке С, раствором циркуля, равным a, сделаем засечку на другой стороне угла в точке В (рисунок). Тогда по построению отрезок ВС длины а будет виден из точки А под углом а (т. е. угол ВАС будет равен α).

2. Опишем около треугольника ABC окружность и получим одну из искомых дуг — дугу ВАС.

Алгоритм III

При точке С отрезка ВС построим угол ВСК, равный α (рисунок).

Проведем через точку С перпендикуляр СО к прямой С К и через точку D, середину отрезка ВС, перпендикуляр DO к прямой ВС (О — точка пересечения этих перпендикуляров). Тогда угол COD будет равен углу ВСК, так как каждый из них в отдельности дополняет угол ОСВ до прямого.

Радиусом ОС из точки О опишем окружность, она пройдет через точку В, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре к ВС. Угол COD есть половина центрального угла СОВ, поэтому всякий вписанный угол CAB будет равен углу COD, т. е. углу а.

Найденное г.м.т. может быть использовано при решении многих геометрических упражнений на построение. Вот одно из них.

Упражнение

С помощью циркуля и линейки провести касательную к данной окружности, проходящую через заданную точку, лежащую вне этой окружности.

Решение. Предположим, что задача решена (рисунок), т. е. на данной окружности с центром в точке О мы нашли такую точку К, что прямая АК, проходящая через заданную точку А, является касательной к данной окружности. Но тогда угол АКО является прямым, т. е. из точки К отрезок АО виден под углом 90°. Так как точки А и О даны, то мы можем построить г.м.т., из которых отрезок АО виден под прямым углом. Этим множеством является окружность, описанная около отрезка АО как около диаметра, а точки ее пересечения с данной окружностью и будут точками касания искомых прямых с окружностью.

Таким образом, для того чтобы из точки А провести касательную к окружности с центром в точке О, нужно около отрезка АО, как около диаметра, описать окружность, точки пересечения полученной окружности с данной и будут точками касания прямых, проходящих через точку А, с данной окружностью.

Пользуясь найденным г.м.т. 5, решите самостоятельно следующие упражнения:

Упражнения.

Найдите точки, из которых два данных отрезка видны под прямым углом.

Найдите точки, из которых два данных отрезка видны каждый под своим углом.

Постройте треугольник по основанию, противолежащему углу и высоте, проведенной к данному основанию.

Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к этому основанию, и углу, противолежащему основанию.

Найдите г.м.т. середин хорд, высекаемых данной окружностью на прямых, проходящих через заданную точку.