Новая жизнь проективной геометрии
Новая жизнь проективной геометрии началась в работах Гаспара М о н ж а (1746—1818) и его учеников, среди которых был Виктор Понселе (1788—1867). В работах Понселе, по словам Феликса Клейна (1849 —1925), появляется новый вид геометрического мышления — «проективное мышление». Находясь в плену в Саратове после похода Наполеона 1812 г., Понселе предавался буйной геометрической фантазии, делясь своими открытиями с товарищами По Политехнической школе, учениками Монжа. Свои результаты он собрал в «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедший лишь через десять лет. К систематическим занятиям геометрией он уже больше не вернулся: отвлекали государственные и военные дела, преподавание, занятия фортификацией, теорией машин («водяное колесо Понселе»). К концу жизни он снова занялся геометрией, но в основном огорчался, что не смог регулярно уделять внимание математике, что другие разрабатывают проективную геометрию не так, как ему казалось следовало бы, и что Шаль некстати вспомнил о Дезарге.
Понселе исходит из того, что так как на проективной плоскости не бывает исключений во взаимном положении прямых, то не должно быть исключений и во взаимном положении кривых второго порядка. Но почему же тогда эллипсы обычно пересекаются в четырех точках, а их частный случай — окружность — только в двух? И Понселе находит ответ: все окружности проходят через две фиксированные точки (их называют циклическими). Однако мы не замечаем этих точек, поскольку они, с одной стороны, являются бесконечно удаленными, а с другой — мнимыми. Так в вещественной геометрии впервые появились комплексные числа (к которым и в алгебре только начинали привыкать!). Циклические точки стали одним из основных объектов геометрии: с их помощью можно объяснить все вещественные метрические соотношения на плоскости.
Другое поразительное открытие Понселе, честь которого он делит с Жозефом Жергонном (1771— 1859),— это закон двойственности — новый способ получения геометрических утверждений. Грубо говоря, он состоит в том, что в теореме о взаимном положении точек и прямых на проективной плоскости можно всюду поменять местами слова «прямая» и «точка» и несколько отредактировать текст (заменить «пересекается» на «проходит» и т. д.), чтобы сделать его осмысленным, после чего получается новая теорема. Например, утверждение: «Две различные прямые имеют общую точку» (пересекаются) переходит в новое утверждение: «Через две различные точки проходит единственная прямая».