Проективизм в математике

Отныне проективизм становится господствующим методом в геометрии. Впрочем, долгое время проективные идеи воспринимались, как некоторое устройство («черный ящик») для получения евклидовых теорем. Бесконечно удаленные элементы воспринимались, как идеальные чужеродные элементы, упрощающие рассмотрения (так сначала воспринимались и комплексные числа).

Однако последовательный проективизм требует рассматривать бесконечно удаленные точки как неотличимые от конечных и при этом не интересуется, например, поведением кривых на бесконечности (асимптотами и т. д.). Дискуссии об идеях проективной геометрии надолго заняли умы геометров. Это становится особенно заметным, если обратиться к немецкой геометрии середины XIX в., когда творили такие замечательные геометры, как Фердинанд Мебиус (1790—1868), Юлиус Плюккер, Якоб Штейнер (1796—1863), Кристиан фон Ш т а у д т (1798—1867). Их деятельность проходила в обстановке ожесточенной борьбы между «аналитиками» и «синтетиками», разногласия между которыми могут показаться сегодня не более аргументированными, чемпротиворечия между «остроконечниками» и «тупоконечниками». Аналитики пользовались преимущественно координатным представлением геометрических образов, открывавшим возможность для использования методов алгебры и анализа. Синтетики считали, что эти методы лишают геометрию ее истинного духа, подлинной геометрической интуиции.

Среди синтетиков наиболее активен был Штейнер, крестьянский сын, который до 19 лет ходил за плугом, затем был учеником и сподвижником знаменитого педагога Иоганна Песталоцци (1746—1827) и лишь в зрелом возрасте обратился к математике. Штейнер обладал удивительной геометрической интуицией, полет его пространственного воображения нельзя было передать даже чертежами, и он отказывался от них на лекциях, которые читались в затемненных аудиториях, чтобы помочь слушателям сосредоточиться. Решительный протест вызывали у Штейнера комплексные числа, эти «призраки», «царство теней в геометрии», которыми так много пользовались аналитики. По мнению Клейна, возможно, нетерпимость Штейнера была причиной того, что Плюккер (типичный аналитик) прекратил надолго занятия геометрией и возобновил их лишь после смерти Штейнера.