Автодуальные метрики
Автодуальные метрики. В заключение остановимся еще на одном направлении в исследованиях Пенроуза 16]. Пока мы имели дело с плоским пространством- временем Минковского. В общей теории относительности интересуются искривленными четырехмерными многообразиями, которые должны удовлетворять сильным нелинейным ограничениям (например, вакуумному уравнению Эйнштейна). Построение решений уравнений Эйнштейна — трудная задача. Пенроуз, исходя из реализации пространства Минковского как семейства прямых в CP3, ищет многообразия, которые удовлетворяли бы уравнению Эйнштейна, как семейства кривых на каких-то трехмерных многообразиях. Метрика при этом должна получаться из условия пересечения кривых (пересекающиеся кривые находятся на нулевом расстоянии). Он с самого начала ограничивается комплексной ситуацией. Для этого в неплоском случае имеются дополнительные причины: на многообразии кривых не бывает неплоской метрики Эйнштейна сигнатуры (3.1), как у метрики Минковского, но бывает риманова (4.0).
Переход к комплексным рассмотрениям замечательным образом упрощает ситуацию, делает ее более геометричной. Ряд инвариантов кривизны многообразия, которые в веществленном случае вводятся аналитически, в комплексном случае приобретает ясный геометрический смысл (тензоры Риччи и Вейля). Пен- роуз показывает, что некоторый класс комплексных решений уравнения Эйнштейна (автодуальных) получается, если определенным образом возмутить комплексную структуру в окрестности одной прямой в CP3 и рассмотреть некоторое семейство кривых, «близких» к прямым. К сожалению, этот путь содержит чрезвычайно неэффективный момент при нахождении семейства кривых. Лишь недавно появились примеры, в которых вычисления удалось довести до явного выражения для метрики.
В настоящее время разрабатывается другой путь (И. Бернштейн, С. Гиндикин), находящийся в рамках идей Пенроуза, но более тесно связанный с упоминавшимися здесь идеями классической геометрии. Рассматривается какое-либо многообразие подходящих кривых, например всех плоских кривых второго порядка в CP . Это восьмипараметрическое семейство, условие пересечения для него записывается многочленом высокой степени и поэтому никакой метрики оно не дает. Однако существуют такие четырехпарамет- рические подсемейства, что условие пересечения на них сводится в квадратичному выражению и доставляет тем самым метрику. В этом случае показывается, что все такие подсемейства устроены в основном как совокупность всех кривых, касающихся четырех фиксированных поверхностей (комплексных) в CP3. Такая конструкция допускает многочисленные обобщения.