Теория динамических систем
Главной областью реального применения современной математики было и остается математическое моделирование. А то, что пытается моделировать математика в рамках развития физики, химии и инженерии, становится все более сложным и многоплановым. В частности, одним из самых важных моментов в становлении моделирования сложных процессов и система стало появления понятия и теории динамической системы.
Динамические системы в целом называют математическими абстракциями, которые предназначены для того, чтобы описывать эволюции определенных процессов во времени. Это модель некоторых объектов, явлений, процессов, которые разворачиваются во времени.
Часто динамические системы, изучаемые этой теорией, представляют как системы, которые обладают состоянием. В таком случае можно рассматривать динамическую систему как такую, которая описывает динамику какого-то процесса перехода системы от одного состояния к другому. Отсюда логически возникает определение фазового пространства системы, т.е. совокупности всех состояний, которые для нее являются допустимыми. В общем динамические системы в математической теории характеризуются двумя главными факторами: начальным состоянием системы и тем законом, по которому она переходит из этого состояния в следующие. Многие математические материалы сейчас находятся в электронном виде, они были переведы при помощи услуги сканирования и распознания текста.
Дальнейшее развитие теории привело к созданию различения систем, которые описываются так называемым дискретным временем и систем с непрерывным течением времени. Те, которые связаны с дискретным временем, получили названием каскадов, у них поведение систем может быть описано через последовательность состояний. Для систем непрерывного времени, которые еще называют потоками, их состояние может быть определено для каждого отдельного момента на комплексной или вещественной оси.
Таким образом, постепенно вследствие развития теория появились символическая и топологическая динамики, которые и изучают вышеописанные явления более подробно. С практической точки зрения динамические системы с любым типом времени чаще всего могут быть адекватно описаны с помощью автономных систем дифференциальных уравнений, которые задаются в некоторой области, и которые должны удовлетворять условиям теоремы существования и единственности для решения дифференциальных уравнений.
Теория динамических систем в целом занимается, фактически, исследованием кривых, которые образуются подобными дифференциальными уравнениями. В рамках таких исследований проводится разбиение фазового пространства системы на траектории и дальнейшее исследование возможного поведения этих траекторий, а также классификация возможных положений равновесия и выделения так называемых притягивающих и отталкивающих множеств, которые ими управляют (аттракторов и репеллеров).