Еще раз о простых числах

Неизвестно, например, сколько простых чисел можно записать одними единицами. Пока найдены три таких числа: это число 11 и числа, состоящие из 11 и 19 единиц. Отметим, что количество единиц в записи таких чисел само должно быть простым числом. Ведь если п = km, то число, состоящее из л единиц, делится на числа, состоящие из к и из т единиц. Например: 111111 = 111-1001 = 11-10101.

Любопытно, что для любого простого числа р, отличного от 2 и 5, найдется записываемое только с помощью единиц число, делящееся на р . Если р ф 3, то таким свойством обладает, например, число, состоящее из (р--1) единицы. В самом деле, известно, что если р отлично от 2 и 5, то 10^р~¹ -1 делится на р. Число 10^р"¹ -1 записывается с помощью (р-1) девятки. Так как р отлично и от 3, то, разделив 10^р_1-1 на 9, получим частное, записанное с помощью (р-1) единицы, делящееся на р. (На р = 3 число 11 не делится, но делится, например, число 111.)

 

Иногда можно взять и менее (р-1) единицы. Например, число 111111 делится на 13. Еще Гаусс пытался выяснить, конечна или нет совокупность простых чисел р, для которых число из к единиц (к < р -1) не делится на р. Ответ на этот вопрос до сих пор неизвестен.

Есть в теории простых чисел и такая интересная проблема: конечна или нет совокупность близнецов — так называют пары простых чисел, разность между которыми равна 2. Примерами близнецов служат 3 и 5, 5 и 7,11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Чем дальше мы продвигаемся вперед по натуральному ряду чисел, тем реже встречаются простые числа, а уж совсем редко — близнецы. И до сего дня неизвестно, а не оборвется ли последовательность этих чисел. Пока же упорные поиски отдельных энтузиастов приводят к открытию новых и новых близнецов, достаточно далеко расположенных в натуральном ряду. С помощью ЭВМ были найдены, например, такие близнецы: 9 2²¹¹-1 и 9-2²¹¹ +1.

Кроме близнецов в последовательности простых чисел существует аналогичная тройня (3, 5, 7). Оказывается, она единственная. В любой тройке (л - 2, л, п + 2), где л - 2 > 3, одно из чисел обязательно делится на три.

Итак, две пары близнецов, исключая пары (3, 5) и (5, 7), могут находиться друг от друга самое меньшее на «расстоянии», равном 4. Это, например, пары (5,7) и (11,13)или пары(11,13) и (17,19). Они определяют четверку (л-4, л-2, л+ 2, л+ 4) простых чисел. Таких четверок на достаточно большом отрезке числового ряда не так уж и мало. Например, среди первых 10 миллионов натуральных чисел их насчитывается 899. Одной из них является четверка (2863308731, 2863308733, 2863308737, 2863308739). И уж если мы не знаем, бесконечно ли множество близнецов, то тем более неизвестно, бесконечно ли множество четверок простых чисел указанного вида.

Долгое время шел поиск критерия простоты числа р, т. е. такого признака, по которому можно было бы безошибочно определить принадлежность произвольно взятого числа к семейству простых. В 1770 г. английский математик Э. Варинг сформулировал следующую гипотезу: для того чтобы число р было простым, необходимо и достаточно,

чтобы число (р -1 )!+1 делилось на р . Через три года она была доказана французским ученым Лагранжем. Но этот признак мало что дает для практики, потому что числа вида л! очень быстро растут с возрастанием л, и потому проверка делимости (р-1)!+1 на р требует слишком больших вычислений.

Имеется довольно много необходимых условий простоты числа (т. е., по существу, свойств простого числа), но до сих пор нет удобного для применения достаточного условия. Утверждение малой теоремы Ферма (если р — простое число из — любое натуральное число, то разность а" - а делится на р) является необходимым условием простоты числа р, но не достаточным. Ферма сформулировал и другой (доказанный впоследствии Эйлером) необходимый признак простоты числа р. любое простое число р, имеющее вид 4л +1, может быть единственным образом представлено в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Например, 5-^²+2², 13=2²+3²,

17=1²+4².......... Но признак этот тоже не является достаточным: числа

25=3²+4², 45=3²+6² имеют единственное представление в виде суммы двух квадратов, но не являются простыми. Зато уж число вида 4л +1, имеющее два таких разложения, наверняка составное.

Для того чтобы доказать, что данное натуральное число N простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до ТА/. Если же N делится на одно из таких чисел, то оно, естественно, составное.

Давно известно, что простых чисел бесконечно много. Еще Евклид в своих «Началах» утверждал, что нет наибольшего простого числа. Вопрос о том, как часто простые числа встречаются в натуральном ряду и как они распределены среди натуральных чисел, также оказался очень сложным.