Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии

Теорема: Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Пусть GR и HS — диагонали параллелограмма GHRS, пересекающиеся в точке А.

Пусть М — произвольная точка на границе параллелограмма, например на стороне HR. Найдем точку, симметричную точке М относительно точки А. Для этого проведем луч МА, который пересекает сторону GS в точке M₁. Треугольники AMR и AM₁G равны, так как у них равны углы MAR и M₁AG, MRA и M₁GA, а также стороны AR и AG.

Значит, АМ₁ — AM. Это означает, что точки М и М1 равноудалены от точки А. Поэтому М₁ — точка, центрально-симметричная точке М относительно точки А. Таким образом, для любой точки М на границе параллелограмма центрально-симметричная ей точка также лежит на границе параллелограмма. Теперь понятно, что если взять произвольную внутреннюю точку N параллелограмма GHRS, то точка N₁, симметричная ей относительно точки А, также является внутренней точкой этого параллелограмма. Значит, точка А пересечения диагоналей параллелограмма GHRS является его центром симметрии.

Поскольку параллелограмм — центрально-симметричная фигура, то и его виды — прямоугольник и ромб, а значит, и вид ромба — квадрат являются центрально симметричными фигурами.

Оси симметрии и центы симметрии плоских фигур

Таким образом, параллелограмм имеет центр симметрии:

Прямоугольник имеет центр симметрии и две оси симметрии:

Ромб имеет центр симметрии и две оси симметрии:

Квадрат имеет центр симметрии и четыре оси симметрии:

Теперь вы знаете разные виды четырехугольников и основные их свойства и признаки.