Что такое движения плоскости: параллельный перенос, поворот. Преобразование подобия. Гомотетия

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая точка из этой же плоскости, и если при этом любая точка плоскости оказывается сопоставленной определенной точке, то говорят, что это отображение плоскости на себя. Любое отображение плоскости на себя, при котором остаются неизменными расстояния между точками, называют движением плоскости.

Параллельный перенос. Пусть а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М₁, что вектор MМ₁ равен вектору а.

Параллельный перенос является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Наглядно это движение можно представить как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.

Поворот. Обозначим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М₁, что ОМ  = ОМ₁ и угол MOМ₁ равен α. При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении — по часовой стрелке или против часовой стрелки (на рисунке изображен поворот против часовой стрелки).

Поворот является движением, поскольку представляет собой отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния.

Геометрическое преобразование плоскости, при котором любая пара точек А и В отображается на такую пару точек А₁ и В₁, что А₁ В₁ = k∙АВ, где k — фиксированная для данного преобразования положительная константа, называется преобразованием подобия. Число k называется при этом коэффициентом подобия.

Очевидно, что движения плоскости — частный случай подобия (с коэффициентом 1).

Фигуру F, называют подобной фигуре F , если существует преобразование подобия, при котором фигура  F отображается в фигуру F₁. При этом эти фигуры отличаются друг от друга лишь размерами, форма фигур F и F₁ одинакова.

Свойства преобразования подобия.

1. Преобразование подобия сохраняет отношения пар отрезков: если АВ и CD — два произвольных отрезка, а А₁ В₁ и C₁D₁  — их образы, то А₁ В₁ / C₁D₁  = АВ / CD.
2. Равные отрезки отображаются в равные; середина отрезка — в середину его образа.
3. Если на плоскости заданы две прямоугольные системы координат и дано число k > 0 , то однозначно определено преобразование подобия с коэффициентом k, отображающее оси первой системы координат в одноименные оси второй.

Геометрическое преобразование плоскости с неподвижной точкой S, которое всякой точке А, отличной от S, ставит в соответствие такую точку А₁, что SА₁ = k∙SA, где k ≠ 0 — наперед заданное число, называется гомотетией с центром S и коэффициентом k. Если фигура F₁ получена из фигуры F с помощью гомотетии, то фигуры F  и F₁ называются гомотетичными.

Свойства гомотетии.

1. Гомотетия с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом  │k│.
2. Гомотетия переводит всякую прямую в параллельную ей прямую.
3. Всякая гомотетия может быть задана центром гомотетии и парой соответствующих друг другу точек.

Другие движения плоскости - центральная симметрия и осевая симметрия - что это такое.