Теорема с доказательством Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство. Вписанный угол по отношению к центру окружности может располагаться так, что этот центр лежит: а) на одной из сторон угла; б) внутри угла; в) вне угла.

 

а) Пусть центр Q окружности принадлежит стороне угла LMN (рис. 7). Докажем, что величина угла LMN равна поло­вине градусной меры дуги LN.

Угол LQN как внешний угол треугольника LQM равен сумме углов LMQ и QLM, Но эти углы равны друг другу как углы при основании равнобедренного треугольника LMQ.

 

Значит, , или . Посколь­ку градусные меры центрального угла LQN и дуги LN равны, то градусная мера в два раза меньшего вписанного угла равна

половине градусной меры дуги LN:

б) Пусть центр Q окружности лежит внутри угла LMN (рис. 8). Докажем, что величина угла LMN равна половине градусной меры дуги LN.

Проведем диаметр MP. Тогда луч MP разобьет угол LMN на два угла LMP и PMN, в каждом из которых одна сторона проходит через центр. Используя доказанное в а), получим:

 

Получили, что, как и в предыдущем случае, градусная мера угла LMN равна половине градусной меры дуги  LN.

в) Пусть центр Q окружности лежит вне угла LMN (рис. 9). Докажем, что величина угла LMN и в этом случае равна половине градусной меры дуги LN.

Проведем диаметр MP. Тогда угол LMN равен разности углов LMP  и NMP, в каждом из которых одна сторона про­ходит через центр. Используем доказанное в а) и получим:

 

Получили, что и в этом случае градусная мера угла LMN равна половине градусной меры дуги LN.

Таким образом, градусная мера вписанного угла равна по­ловине градусной меры дуги, на которую этот угол опирается.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну ду­гу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диа­метр, является прямым.