Двузначное число умножили на 100
Двузначное число умножили на 100. Определите, какое наименьшее натуральное число может получиться при делении полученного произведения на двузначное число.
Решение:
(№1327 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить,используя метод оценки.
Пусть исходное число имеет вид а + 10b, его умножили на 100, а наименьшее натуральное число, которое может получиться при делении полученного произведения на двузначное число c + 10d пусть будет n.
Условие задачи можно переписать в виде
[(а + 10b)∙100]/(c + 10d) = n или (а + 10b)∙100 = n∙(c + 10d).
Понятно, что n ≠1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, потому что если а + 10b = 10 – наименьшее двузначное число, а n – одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, то число c+10d будет трехзначным, что противоречит условию.
Пусть n = 11: (а + 10b)∙100 = 11∙(c + 10d), 100 не кратно 11, значит число а + 10b кратно 11, то есть число а + 10b может быть числами 11, 22, 33,…, но непосредственная подстановка показывает, что в любом случае число c + 10d будет трехзначным, что противоречит условию.
Аналогично можно показать, что случаи n = 12, 13, 14 приводят к подобным случаям, то есть они не являются решениями задачи.
Пусть n = 15:(а + 10b)∙100 = 15∙(c + 10d), (а + 10b)∙20 = 3∙(c + 10d), 20 не кратно 3, значит число а + 10b кратно 3, то есть а + 10b может быть числами 12, 15, 18, … .
Возьмем а + 10b = 12: 12∙100 = 15∙80, то есть получили c + 10d = 80 – двузначное число.
Ответ: 15.