Целая часть числа

Докажите, что [2α + 2β] ≥ [α + β] + [α] + [β]. Здесь [x] обозначает целую часть числа x, это означает наибольшее целое число, которое не превосходит числа x.

Решение:

(№720 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить, используя метод рассмотрения частных случаев.

Можно считать, что α и β удовлетворяют неравенству 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β <1.

На самом деле, пусть α = α^′ + n, β = β^′ + m, где n и m – целые числа, а 0 ≤ α^′ < 1, 0 ≤ β^′ < 1. Поскольку при любых целых n и x [x+ n] = [x] + n, то:

[2α] + [2β] = [2α^′ + 2n] + [2β^′ + 2m] = [2α^′] +[2β^′] + 2n+ 2m;

[α] + [α + β] + [β] = [α^′ + n] + [α^′ +β^′ +n+ m] + [β^′ + m] =

= [α^′] + [α^′ + β^′] + [β^′] + 2n + 2m.

Таким образом, задача свелась к числам α^′ и β^′ из интервала [0; 1]длины 1. Поскольку, [α] = [β] = 0, остается доказать неравенство [2α] + [2β] ≥ [α + β].

Если [α + β] = 0, то неравенство очевидно, и если [α + β] = 1, то α + β> 1, потому или α,  или β не меньше чем 1/2. Тогда или [2α] =1, или [2β] = 1. Неравенство доказано и в этом случае.