Доказать, что функция постоянная на своей области допустимых значений
Дробно-линейные функции f(x) и g(x) такие, что f(x) > g(x) при всех значениях x, которые принадлежат областям определения обоих функций. Доказать, что функция f(x) – g(x) постоянная на своей области допустимых значений.
Решение:
(№828 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя метод оценки.
Пусть f(x) = (ax+ b)/(cx+ d).
f(x) – гипербола с вертикальной асимптотой x= – d/c. Для выполнения условия f(x) > g(x) необходимо, чтобы g(x) также имела асимптотой x= – d/c, это означает, что g(x) = (mx+ n)/(cx+ d).
Тогда f(x) – g(x) = (ax+ b)/(cx+ d) – (mx+ n)/(cx+ d) = [(a – m)x+ (b – n)]/(cx+ d) > 0, при любом x ≠ d/c, потому что по условию f(x) > g(x).
Неравенство [(a – m)x + (b – n)]/(cx+ d) > 0 тождественно выполняется только тогда, когда (a – m)/c = (b – n)/d = k = const. Это означает, что функция f(x) – g(x) постоянная на своей области допустимых значений.
Что и требовалось доказать.