Окружность и прямоугольный треугольник

Через точку K биссектрисы AD острого угла A прямоугольного треугольника ABC проведена прямая под прямым углом к AD, которая пересекает гипотенузу AB в точке N. Доказать, что угол между прямыми DN и CK равен половине угла BAC.

Решение:

(№1006 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Обозначим ﮮСАD = ﮮDАВ = α.

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника МKDС ровна 90°, то вокруг него можно описать окружность. Поэтому ﮮСМD = ﮮСKD = β (опираются на дугу СD); ﮮМСK = ﮮСDK = γ (опираются на дугу дугу МK). Поскольку ΔМКD = ΔDKN (МK = KN, потому что АD – биссектриса, а KD – общая), то ﮮМDK = ﮮKDN.

Рассмотрим ΔАСK: α + γ = β (*) (ﮮDKС – внешний для ΔАСK).

Рассмотрим ΔТКD: ﮮKТD + γ = β (**) (ﮮСКD – внешний для ΔТKD).

Сравнивая (*) и (**), получаем, что ﮮKТD = α, что и требовалось доказать.