Окружности проходят через точку A

В треугольнике ABC угол A равен a. Окружности с центрами O₁ и O₂ проходят через точку A и касаются стороны BC в точках B и C. Определите угол O₁PO₂, где P — еще одна кроме A общая точка окружностей.

Решение:

(№271 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.

Рассмотрим треугольник АВС: a + x + y = 180° (*). Точки В и С – точки касания окружностей и прямой ВС.

Из рисунка видно, что, сложим эти неравенства:

x + y + a₁ + a₂ = 180° (**).

 Из (*) и (**) получаем, что a = a₁ + a₂.

ΔO₁AO₂ = ΔO₁PO₂ (по двум сторонам: O₁A = ВO₁, O₂A = СO₂ радиусы окружностей, O₁O₂ – общая). Получаем, что ﮮO₁AO₂ = ﮮO₁PO₂, тогда ﮮO₁PO₂ = a + a₁ + a₂ = 2a.

Ответ: 2a.

Нестандартные задачи про окружность с решением и подробным описанием здесь.