Основания биссектрис треугольника
Через основания биссектрис треугольника проведена окружность. Докажите, что из отрезков, которые она высекает на сторонах треугольника, один равен сумме двух других.
Решение:
(№541 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.
Обозначим через a, b, c стороны треугольника, а отрезки, которые окружность отсекает на сторонах треугольника через x, y, z. Тогда, используя свойства биссектрис треугольника, получаем:
Из последней системы видно, что 2x + 2y = 2z, x + y = z. Что и требовалось доказать.
У нас еще много хороших задач с решениями про окружность.