Решить систему функциональных уравнений
Решить систему уравнений
Решение:
(№272 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом оценки.
Рассмотрим функцию f(t) = t3/13 – 12/13. Поскольку f′(t) = 3t3/13 > 0, то функция f(t) – возрастает.
Стстема имеет вид: или , значит x = f(f(f(x))).
Если f(t) = y и y > x, то f(y) = z и z = f(y) > f(x) = y. А тогда f(z) > f(y) > y > x. Значит в этом случае f(z) ≠ 0.
Также устанавливается, что если y < x то f(z) < f(y) = z < y < x. Поэтому подходить в систему может только такой набор, для которого x = y = z.
Найдем, например, х: x3 – 13x – 12 = 0. Действительные корни ищем среди делителей свободного члена (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12).
После непосредственной подстановки делителей свободного члена в последнее уравнение, получаем, что х = –1; –3; 4. Решением исходной системы уравнений являются следующие тройки чисел (-1; -1; -1); (-3; -3; -3); (4; 4; 4).
Ответ: (-1; -1; -1); (-3; -3; -3); (4; 4; 4).