Окружность, вписанная в трапецию
Окружность касается оснований AD и BC трапеции ABCD в точках M и N, а боковых сторон — в точках P и Q. Докажите, что если прямые MC, ND и PQ пересекаются в одной точке, то трапеция равнобедренная.
Решение:
(№144 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить методом внутренней симметрии.
Рассмотрим прямоугольную трапецию NСDM, через точку Е пересечения ее диагоналей MC и ND, проведем прямую RT параллельно основаниям. ∆NCE подобен ∆MED с коэффициентом подобия a/b:
NR/RM = a/b, CT/TD = a/b.
Поскольку RTпараллельна основаниям, то СТ = СQ= a. Получили, что точки Q и Т совпадают. с/d = a/b.
Пусть c = ka, d = kb, тогда высота трапеции:
C другой стороны, это означает, что k = 1, а c= a. Этого достаточно, чтобы утверждать, что трапеция равнобедренная.
Быстро вспомнить теорию по математике - формулы по математике, теоремы по математике...