Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны

Диагонали четырехугольника  ABCD перпендикулярны и равны. Найти его углы, если AB = 1, BC =, CD =.

Решение:

(№1094 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.

Пусть АО = а, тогда по теореме Пифагора:

ОВ =; ОС =; ОD =; АD =.

По условию:

АС = ВD: а +  =+ или а – =– .

Решаем последнее уравнение относительно а с учетом того, что а > 0.

а²+ 2 – а²– 2а = 1 – а² + 1 + а²– 2[(1 – а²)(1 – а²)]^1/2,

а = [(1 – а²)(1 – а²)]^1/2, а²(2 – а²) = (1 – а²)(1 – а²), а = 1/.

Тогда ОВ = 1/,ОС = /, ОD = /.

Находим углы: ﮮBAO = ﮮABO = 45º; ﮮBOC = 30º; ﮮCBO = 60º; ﮮOCD = ﮮCDO = 45º; ﮮODA = 30º; ﮮOAD = 60º.

Тогда ﮮABC= 45º + 60º = 105º, ﮮBCD= 30º+ 45º = 75º, ﮮCDA = 30º+ 45º = 75º, ﮮDAB= 45º + 60º = 105º.

Ответ: 105°, 105°, 75°, 75°.

Как решать другие олимпиадные задачи по математике смотри здесь.