Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, которая проведена к гипотенузе, делит ее на части, разность которых ровна этой высоте. Найдите углы треугольника.

Решение:

(№321 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом алгебраических и геометрических интерпретаций.

Пусть h высота прямоугольного треугольника, а h + a и a – отрезки, на которые высота делит гипотенузу, α – один из углов треугольника.

Высота есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: h² = a(a+ h) или  h² = a²+ ah. Разделим это равенство на h² ≠ 0: .

Поскольку a/h = ctg(90º – α) = tgα, то получаем 1 = tg²α + tgα. Откуда. Учитывая, что α  – острый угол, получаем.

Ответ: .