Отношение наименьшей высоты к наименьшей биссектрисе

Докажите, что в произвольном треугольнике отношение наименьшей высоты к наименьшей биссектрисе больше чем /2.

Решение:

(№909 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)

Эту задачу можно решить методом оценки.

Пусть BC < AB < AC.

Тогда углы А и С – острые и CH <  CL. Требуется доказать, что BH/BL > /2  или, учитывая, что BH/BL = cosﮮLBH, ﮮLBH < 45º.

Допустим, что ﮮLBH ≥ 45º. ﮮBLH – внешний для ΔABL значит, ﮮBLH > ﮮABL, а поскольку ﮮBLH = 90º – ﮮLBH, то ﮮ BLH < 90º, но ﮮABL = ﮮLBС, ﮮLBС = ﮮLBH + ﮮHBC > 45º. Получили, что ﮮBLH ≥ 45º.

Получили противоречие с тем, что сумма углов треугольника BLH ровна 180°.

На сайте есть решения задач из различных школьных олимпиад по математике на тему системы уравнений.